Plný diferenciál | Tento. Co je úplný diferenciál?

Ukazuje, jak rozpoznat diferenciální rovnici v totálních diferenciálech. Jsou uvedeny metody jeho řešení. Je uveden příklad řešení rovnice v totálních diferenciálech dvěma způsoby.

úvod

Diferenciální rovnice prvního řádu v totálních diferenciálech je rovnice ve tvaru:
(1) ,
kde levá strana rovnice je celkový diferenciál nějaké funkce U ( x, y ) proměnných x, y :
.
Ve stejnou dobu .

Pokud je taková funkce U ( x, y ) nalezena, pak rovnice nabývá tvaru:
dU (x, y) = 0.
Jeho obecný integrál je:
U (x, y) = C,
kde C je konstanta.

Pokud je diferenciální rovnice prvního řádu napsána pomocí derivace:
,
pak jej lze snadno zredukovat na formu (1). Za tímto účelem vynásobíme rovnici dx. Pak . Výsledkem je rovnice vyjádřená pomocí diferenciálů:
(1) .

Vlastnost diferenciální rovnice v totálních diferenciálech

Aby rovnice byla

byla rovnice totálních diferenciálů,
je nutné a postačující, aby byl splněn následující vztah:
(2) .

Důkaz

V následujícím předpokládáme, že všechny funkce použité v důkazu jsou definovány a mají odpovídající derivace v nějakém rozsahu hodnot proměnných x a y . Bod x A patří také do této oblasti.

Dokažme nutnost podmínky (2).
Nechť levá strana rovnice (1) je diferenciál nějaké funkce U ( x, y ):
.
Pak
;
.
Protože druhá derivace nezávisí na řádu derivace, pak
;
.
Z toho vyplývá . Nezbytnost podmínky (2) je prokázána.

Dokažme dostatečnost podmínky (2).
Nechť je splněna podmínka (2):
(2) .
Ukažme, že je možné najít funkci U ( x, y ) takovou, že její diferenciál:
.
To znamená, že existuje funkce U(x,y), která splňuje rovnice:
(3) ;
(4) .
Pojďme najít takovou funkci. Integrujeme rovnici (3) vzhledem k x z x na x , za předpokladu, že y je konstanta:
;
;
(5) .
Derivujeme s ohledem na y za předpokladu, že x je konstanta, a platí (2):

.
Rovnice (4) bude splněna, jestliže
.
Integrujte s ohledem na y od y k y:
;
;
.
Nahraďte za (5):
(6) .
Našli jsme tedy funkci, jejíž diferenciál je
.
Dostatečnost je prokázána.

Ve vzorci (6), U (x A ) je konstanta – hodnota funkce U ( x, y ) v bodě x A . Lze mu přiřadit libovolnou hodnotu.

Jak rozpoznat diferenciální rovnici v totálních diferenciálech

Podívejme se na diferenciální rovnici:
(1) .
Abychom zjistili, zda je tato rovnice v celkových diferenciálech, musíme zkontrolovat, zda je splněna podmínka (2):
(2) .
Pokud je splněna, jedná se o rovnici totálních diferenciálů. Pokud ne, pak se nejedná o rovnici totálních diferenciálů.

příklad

Zkontrolujte, zda je rovnice v celkových diferenciálech:
.

Zde
,.
Derivujeme s ohledem na y, přičemž x považujeme za konstantní:

.
Derivujeme s ohledem na x, přičemž y považujeme za konstantní:

.
Protože:
,
pak je daná rovnice v totálních diferenciálech.

Metody řešení diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech

Metoda postupné diferenciální extrakce

Nejjednodušší metodou pro řešení rovnice v totálních diferenciálech je metoda postupné extrakce diferenciálu. K tomu používáme diferenciační vzorce napsané v diferenciálním tvaru:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d ( uv ) ;
;
.
V těchto vzorcích jsou u a v libovolné výrazy složené z libovolné kombinace proměnných.

Příklad 1

Dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Pojďme to transformovat:
(P1) .
Rovnici řešíme postupným izolováním diferenciálu.
;
;
;
;

Metoda postupné integrace

V této metodě hledáme funkci U(x,y), která splňuje rovnice:
(3) ;
(4) .

Integrujeme rovnici (3) vzhledem k x, přičemž y považujeme za konstantní:
.
Zde je φ ( y ) libovolná funkce y, kterou je třeba určit. Je to integrační konstanta. Dosaďte do rovnice (4):
.
Odtud:
.
Integrací zjistíme φ ( y ) a tedy U ( x, y ) .

Příklad 2

Řešte rovnici v totálních diferenciálech:
.

Dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Představme si následující zápisy:
,.
Hledáme funkci U (x, y), jejíž diferenciál je levá strana rovnice:
.
Pak:
(3) ;
(4) .
Integrujeme rovnici (3) vzhledem k x, přičemž y považujeme za konstantní:
(P2)
.
Rozlišujte s ohledem na y:

.
Dosadíme do (4):
;
.
Integrujeme:
.
Dosadíme do (P2):

.
Obecný integrál rovnice:
U ( x, y ) = konst.
Spojíme dvě konstanty do jedné.

Metoda integrace podél křivky

Funkce U je definována vztahem:
dU = p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy ,
lze nalézt integrací této rovnice podél křivky spojující body ( x A ) a (x, y):
(7) .
Od
(8) ,
pak integrál závisí pouze na souřadnicích počátečního ( x A ) a konečných ( x, y ) bodů a nezávisí na tvaru křivky. Z (7) a (8) najdeme:
(9) .
Tady x a y – konstantní. Proto U (x A ) je také konstantní.

Příklad takové definice U byl získán při dokazování vlastnosti rovnice v totálních diferenciálech:
(6) .
Zde se integrace provádí nejprve podél segmentu rovnoběžného s osou y, z bodu ( x A ) do bodu (x , y ). Poté se integrace provede podél segmentu rovnoběžného s osou x, z bodu ( x , y ) do bodu ( x , y ) .

V obecnějším případě je třeba znázornit rovnici křivky spojující body ( x A ) a ( x, y ) v parametrickém tvaru:
x ₁ = s (t ₁); y ₁ = r (t ₁);
x = s (t ); y = r (t );
x = s (t); y = r (t);
a integrovat přes t ₁ od t do t .

Nejjednodušší způsob, jak provést integraci, je podél segmentu spojujícího body ( x A ) a (x, y). V tomto případě:
x ₁ =x + (x – x ) t ₁ A ₁ = a + (y – y ) t ₁ ;
t = 0; t = 1;
dx ₁ = (x – x ) dt ₁ ; dy ₁ = (y – y ) dt ₁ .
Po dosazení dostaneme integrál přes t od 0 do 1.
Tato metoda však vede k poměrně těžkopádným výpočtům.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálních rovnic, LKI, 2015.

Autor: Oleg Odintsov. Zveřejněno: 10-08-2012 Upraveno: 02-07-2015

Rozdíl v matematice lineární část přírůstku funkce nebo zobrazení. Tento koncept úzce souvisí s konceptem směrové derivace.

Obvykle diferenciální f je indikováno df a jeho hodnota v bodě x je indikováno d_xf .

Neformální popis

Uvažujme hladkou funkci f(x). Nakreslete k němu tečnu v bodě x , a odložíme na tuto tečnu úsek o takové délce, aby jeho průmět na osu x byla rovna Δx . Projekce tohoto segmentu na osu y tzv. diferenciál funkce f(x) v bodě x od Δx . Diferenciál lze tedy chápat jako funkci dvou proměnných x a Ax ,

konkrétně rozdíl mezi přírůstkem funkce a jejím diferenciálem je nekonečně malá veličina:

f(x +Ax) = f(x) + d_xf(Ax) + o(Ax).

Definice

Pro funkce

Diferenciál hladké reálné funkce f definováno na M ( M — doména v nebo hladká varieta) je 1-forma a obvykle se označuje df a je určen poměrem

kde označuje derivaci f ve směru vektoru X v tečném svazku M .

Pro displeje

Rozdíl hladkého mapování z hladkého potrubí na potrubí existuje mapování mezi jejich tečnými svazky, , takže pro jakoukoli hladkou funkci máme

kde Xf označuje derivát f směrem k X . (Na levé straně rovnosti je převzata derivace N funkce g na dF(X) vpravo – dovnitř M funkce podle X ).

Tento koncept přirozeně zobecňuje diferenciál funkce.

Související definice

• Hladký displej tzv. ponoření, pokud za nějaký bod , diferenciál subjektivní.
• Hladký displej tzv. hladké ponoření, pokud za nějaký bod , diferenciál injekční.

Vlastnosti

• Diferenciál složení se rovná složení diferenciálů: nebo

Příklady

• Pusťte dovnitř otevřenou sadu je dána hladká funkce . Pak df = f“dx Kde f‘ označuje derivát f a dx je konstantní forma definovaného dx(V) = V .
• Pusťte dovnitř otevřenou sadu je dána hladká funkce . Pak . Formulář dx_i lze definovat poměrem dx_i(V) = v_i , pro vektor .
• Pusťte dovnitř otevřenou sadu je nastaveno plynulé mapování . Pak
  d_xF(v) = J(x)v ,
  kde J(x) je jakobiánská matice zobrazení F v místě x .

Příběh

Termín Diferenciál (od lat. diferenciace — rozdíl, rozlišení) zavedl Leibniz. Zpočátku, dx bylo použito k označení “nekonečně malé” – veličiny, která je menší než jakákoli konečná veličina a přitom se nerovná nule. Tento pohled se ukázal jako nepohodlný ve většině oblastí matematiky (kromě nestandardní analýzy).

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.