Pepinův vzorec pro výpočet délky oblouku (Ivan Žukov) /

Za pár dní mi bude 54. Další v pořadí je 54. článek na pultu „Proza“. Po složení číslo 54 dává prvočíslo 9 – přesně stejné číslo se získá při složení mého celého skutečného jména. Napadlo mě „oslavit“ tuto shodu čísel zajímavým článkem. Rozhodl jsem se zveřejnit svůj vzorec pro výpočet délky oblouku. (Kupodivu jsem svůj první oblouk vyrobil také před 9 lety.)
Kdo to potřebuje?
To je nezbytné pro lidi, jako jsem já, kteří při výrobě kovových výrobků: klenutých markýz, altánů, skleníků a různých typů střech čelí potřebě vypočítat polotovary pro ohýbání oblouků, například z profilové trubky různých velikostí.
Oblouky z kovových profilů se vyrábějí válcováním kovu ve tříválcových válcovnách. Díky vícenásobnému válcování „tam a zpět“ má rovný kovový polotovar tvar části kruhového oblouku. Oblouk samozřejmě není přesnou geometrickou kopií části kružnice. Je to však zcela dostatečná aproximace kružnice. Přesnost závisí na několika faktorech: homogenitě trubky, stupni opotřebení hřídelí válců, vzdálenosti mezi hřídeli válců a počtu průchodů – počtu válcování „tam a zpět“. A samozřejmě na umění a dovednostech výrobce.
Ale moje myšlenka je, že pokud znáte délku kovového polotovaru pro konkrétní oblouk, pak při válcování polotovaru stačí změřit pouze vzdálenost mezi konci polotovaru. A když při výrobě oblouku vzdálenost mezi konci polotovaru odpovídá velikosti základny oblouku (přímka, která ohraničuje segment oblouku zespodu), pak oblouk získá zadané rozměry, je připraven.
Ale jak vypočítat délku oblouku, když obvykle u stříšky nebo altánu je specifikována velikost základny obloukového segmentu a výška oblouku? Je dobré, když již existuje hotový výkres, který nakreslil architekt, designér nebo inzerent. Alespoň je tam poloměr oblouku. A pak můžete na vhodný povrch nakreslit část kruhu s takovým poloměrem. Při vytváření prvních oblouků jste museli udělat toto: nakreslit oblouk na zem nebo na podlahu. A změřit délku polotovaru pro oblouk přiložením krejčovského metru na nakreslený oblouk. Poté odříznout polotovar takové délky a srolovat ho, dokud se neodpovídá velikosti základny obloukového segmentu.
Když jsem se díval na to, jak krásně se oblouky kreslí v grafických editorech na počítači, pořád jsem si říkal, že musí existovat vzorec, podle kterého lze vypočítat délku oblouku, i když znáte pouze rozměry základny a výšky oblouku. Po prohledání dostupné literatury o matematice a stavebnictví jsem takový vzorec nenašel. ALE myslím, že pravděpodobně někde je. Proto jsem se rozhodl zkusit tento vzorec odvodit sám. Naštěstí se děti učily ve vyšších třídách školy a existovaly učebnice geometrie. A. Takže s pomocí učebnice geometrie pro 10. nebo 11. ročník, přesně si nepamatuji, se mi podařilo takový vzorec odvodit. Samotný důkaz, dokonce již připravený ve formě článku v roce 2005, zmizel spolu se všemi informacemi, když mi „odumřel“ další pevný disk počítače, ale metoda výpočtu délky oblouku úsečky zůstala ve formě algoritmu zapsaného v sešitu, a to díky tomu, že tento algoritmus neustále používám.
Tuto metodu výpočtu délky oblouku na základě základny a výšky oblouku a mého vzorce nabízím všem zájemcům.
Podívejme se na obrázek. Řekněme, že potřebujeme najít délku horního oblouku zobrazeného oblouku. Nakreslíme na tento oblouk pravoúhlý trojúhelník. Jedna odvěsna je výška oblouku – to je odvěsna b (odvěsna naproti úhlu alfa). Je také součástí poloměru. Druhá odvěsna – a (odvěsna sousedící s úhlem alfa) je polovina základny úsečky oblouku.
Na základě hodnot odvěsen tohoto trojúhelníku můžeme pomocí vzorce (3), který jsem neskromně nazval Pepinovým vzorcem, zjistit délku oblouku oblouku (úsečky). (3)
Jak vidíme, pro získání hodnoty délky oblouku potřebujeme znát úhel alfa. Hodnotu tohoto úhlu můžeme zjistit poměrem známých velikostí odvěsen, tj. tečnou úhlu alfa. Za tímto účelem podle vzorce (1) vydělíme hodnotu odvěsny b hodnotou odvěsny a.
Po zaokrouhlení získané hodnoty tečny na tisícinu zjistíme hodnotu úhlu alfa pomocí redukované tabulky Bradisových tečen zobrazené na obrázku. Ve sloupcích tg; je uvedena pouze zlomková část tečny (pro jednoduchost je vyřazeno 0 celých čísel). Jak ukazují mé zkušenosti, pro uspokojivou přesnost tvorby oblouku stačí znát hodnotu stupně s desetinou úhlu. Máme ale tabulku pouze s celými hodnotami stupňů. Pokud je uvedeme s desetinami, hodnota tabulky se také zvýší 10krát. Zdálo se mi, že pak budeme muset hledat dlouho. Ti, kteří si přejí, si samozřejmě mohou vzít celou tabulku Bradisových tečen a použít ji. Já dělám toto: desetinu stupně najdu odhadem „z hlavy“. Mezi celými stupni je rozdíl od 18 do 34 tisícin stupně. Vydělením tohoto rozdílu 10 získám hodnotu tečny pro desetinu úhlu alfa. A když už jsem odhadl, kolik chybí nebo přebývá, zaokrouhleno na nejbližší celý stupeň, najdu desetinnou hodnotu stupně úhlu alfa. Někdo možná sestaví tabulku s přesností až na desetinu stupně.

Dále musíme vypočítat hodnotu poloměru oblouku R. Pro tento účel se odvodí vzorec (2)

Dále dosadíme hodnoty úhlu alfa a poloměru do Pepinova vzorce (3) a získáme délku oblouku. Poté vyřízneme kovový polotovar o této délce a válcujeme ho, dokud vzdálenost mezi konci polotovaru nebude rovna velikosti základny oblouku.
Než se podíváme na konkrétní příklad, dovolte mi připomenout, že pokud je váš oblouk přesně roven půlkruhu, pak můžete použít klasický vzorec pro obvod kruhu, který se rovná pí R (půlkruh).
Podívejme se na příklad. Řekněme, že výška oblouku je 87 centimetrů a šířka (velikost základny segmentu je 256 centimetrů (2 metry 56 centimetrů))

Krok 1. Vzorec (1)
Hledáme tečnu úhlu alfa. Vydělíme 87 centimetrů polovinou základny, tj. 128 centimetry. Dostaneme 0,6796875. Zaokrouhlením na tisíciny dostaneme 0. Tato hodnota spadá mezi 680 a 34 stupni. Mezi nimi je rozdíl 35 „jednotek“. To znamená, že jedna desetina stupně odpovídá 25 „jednotkám“. Mezi hodnotou 2 stupňů = 5 a získanou hodnotou 34 je pouze pět „jednotek“. Vydělíme 0 „jednotek“ číslem 675 a dostaneme, že k 0 stupňům potřebujeme přičíst 680 desetiny stupně. To znamená, že požadovaná hodnota úhlu alfa je rovna 5 stupňům.

Krok 2. (Vzorec (2)
Vypočítáme hodnotu poloměru. Odvěsna b = 0.87 metru, na druhou to bude 0,7569. Odvěsna a = 1.28 metru, tedy na druhou to bude =1. Součet druhých mocnin odvěsen = 6384. Nyní toto číslo vydělíme dvojnásobkem odvěsny b, což odpovídá 2,3953 metru. Výsledkem je poloměr 1.74 metru. Tato hodnota nám bude vyhovovat, a to i hodnota 1.3766 metru.
Krok 3 Vzorec (3)
Získané hodnoty dosadíme do Pepinova vzorce.
Úhel 34,2 stupňů vynásobíme poloměrem 1.38 metru a vynásobíme koeficientem 0.07 (sedm setin) a dostaneme hodnotu délky oblouku = 3, 30372. Pro praktické účely vezmeme obrobek dlouhý 3 metry 30 centimetrů.
Téměř každý válec neroluje samotné konce oblouku, protože mezi hřídeli válců je vzdálenost. U mých malých válců je tato nerolovací vzdálenost pouze sedm centimetrů od každého konce. Tyto rovné části neovlivňují kvalitu výrobku. Proto beru polotovary podle hodnoty vypočítané podle vzorce (3). Pro ty, kteří chtějí mít úplnější shodu oblouku s geometrií kružnice nebo mají velké nerolovací konce, měli byste k vypočítané délce oblouku přičíst dvojnásobnou vzdálenost nerolovacího konce a změřit velikost základny s ohledem na (mínus) toto prodloužení polotovaru.
Přeji všem úspěch v jejich práci a při stavbě oblouků, které nacházejí v našich životech stále větší uplatnění!
Žžukov Ivan. 20. října 2012. Orel.

Za pár dní zveřejním tento článek na webových stránkách Hyde Parku, kde bude mít pohodlnější čtecí formu.